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  • 發表日期 2019-10-02

    在幾何學中,規則的三維圖形,如立方體,棱錐等,它們的體積簡單易得,我們可以用特定的公式來計算

    但是,當涉及曲率時,所有這些公式都是無用的,幸運的是,我們之前在二維區域上進行線段的計算同樣可以延伸到平面區域或橫截面上,來計算它們的體積

    不同的是我們的計算不是在有限的區域中分割出無限多的矩形,而是添加無限薄的橫截面,我們可稱之為磁盤,對于這些磁盤中每一個都是二維區域,因此可采用區域函數的積分

    例如,拿這個球體,我們可將其視為一系列不同半徑的圓盤,我們將球的中心放在原點,在水平方向上,我們可以將每個圓的半徑視為具有y的值,因為圓區域的公式都是和平方有關的

    圖中明顯半徑等于y,所以每個圓盤的面積就是Πr^2,但是球體的半徑是不變的,我們可以做這樣一個三角形,下圖中,根據球體的半徑獲得圓盤的半徑變化,我們使用畢達哥拉斯定理,得到y的y^=r^2-x^2

    所以我們將這個新版本的y^2插入到我們的圓形區域的函數中,就得到圓盤區域面積A=Π(r^2-x^2)

    我們將其與x相關聯,從+r到-r做為該間隔,因為球體是關于y軸對稱的,所以我們可以從0到r進行整個,結果加倍

    最終得到球體的體積

    因此,通過將無限多的二維相加,積分將為我們提供三維物體的體積,橫截面積就是通過無限多的一維的疊加給我們一個二維區域的方式

    但這些三維物體是什么,我們如何在坐標平面上表示它們呢?,很多時候,這些形狀將通過旋轉來產生,讓我們在曲線和x軸之間填充這個區域,這樣我們就得到它的旋轉截面,使它繞x軸旋轉360度

    那我們怎么才能獲得這種形狀的體積呢?正如我們所說,通過疊加所有橫截面

    那么這些圓形截面之一的面積公式是多少呢?很明顯它的半徑是根號x,所以有關橫截面積就是Πx

    這意味著這就是我們必須整合的東西,幸運的是它變得如此簡單,也就得到整個圖形的體積

    因為,定義被積函數的行為絕對是一個額外的推理和發現,但我們整合的方式沒有任何改變


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